terça-feira, 25 de março de 2014

Tópicos da Matemática da UBM - Nº #3 - Poliedros

Esta é a terceira edição da série mensal de postagens Tópicos da Matemática da UBM. Agradecemos aos autores dos 4 blogs participantes que enviaram seus links para mais esta celebração da Matemática. 

Para a edição abril, o tema será: Derivada. Esperamos a sua contribuição!


Again... Oficina: Poliedros 

Blog: Xarlleslb Blog
Autor: Charles Bastos

Como recurso pedagógico para exemplificar conceitos, elementos e objetos geométricos, a Oficina de Poliedros foi novamente requisitada.

Após algumas aulas a respeito de elementos básicos (ponto, segmento de reta, semirreta, reta, plano, polígonos) da geometria, em que além de explanação do conteúdo os alunos tiveram que reproduzir situações e objetos utilizando instrumentos (régua, compasso, transferidor), passamos a atividades que se relacionam à expectativa de aprendizagem referente aos Poliedros.

Sobre os poliedros, reconhecemos vértice, aresta e face, os 5 poliedros convexos (os reproduziram, assim como fui os organizando no quadro), desenhos em 3D, Fórmula de Euller e outros. Comentamos e representamos ainda alguns corpos redondos.


Móbile com Poliedros de Platão 

Blog: Fatos Matemáticos
Autor: Prof. Paulo Sérgio

Os sólidos Platônicos são poliedros convexos e regulares e não é difícil demonstrar que existem apenas 5 poliedros de Platão: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.

Existem várias atividades interessantes que podem ser feitas com os alunos, tais como construir esses poliedros com cartolina ou com canudos, mas o que eu proponho é uma atividade que serve como uma peça decorativa, que é a construção de móbile conforme a foto acima.


Leonhard Paul Euler 

Blog: Vivendo Entre Símbolos
Autor: Romirys Cavalcante

Leonhard Paul Euler nasceu na Basileia em 15 de abril de 1707 e morreu em São Petersburgo em 18 de setembro de 1783. Foi um matemático muito conhecido e também físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e Alemanha. Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos (ciência que se preocupado com as relações entre as partes de um objeto em estudo, por exemplo, em um triângulo estudaria seus vértices, arestas e faces e procuraria relações entre eles). Ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica e astronomia tanto que foi considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon, Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática: “Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós.”.


Planificação de Poliedros 

Blog: O Baricentro da Mente
Autor: Kleber Kilhian

Neste caderno com planificações de poliedros. São 167 páginas com o seguinte conteúdo:

Platonic Solids; Archimedean Solids; Kepler-Poinsot Polyhedra; Other Uniform Polyhedra; Compounds; Dodecahedron; Cube and Tetrahedron; Octahedron; Icosahedron; Cuboctahedron; Icosidodecahedron; Truncated Tetrahedron; Truncated Octahedron; e muito mais.



sábado, 15 de março de 2014

Carnaval da Matemática da UBM - Nº #32

Nesta trigésima segunda edição do Carnaval da Matemática da UBM, publicada em $15$ de Março de $2014$, apresentamos as sinopses dos artigos enviados pelos autores dos $4$ blogs participantes.


 
Blog: Xarlles Blog
Autor: Charles Bastos

Já que existem critérios de divisibilidade por $3$, $5$, $7$, e $11$, o presente trabalho tem como objetivo mostrar uma regra de divisibilidade (ou Regra de Sebá) por qualquer número primo maior que $11$. Já que existem as calculadoras, o trabalho não traz nenhuma contribuição prática para os leitores (ou alunos). Se o trabalho tivesse sido escrito numa época em que não existiam as calculadoras, com certeza, seria uma grande contribuição ao ensino da matemática. Escrevi o trabalho apenas como curiosidade.

A História do Número Zero


Blog: O Baricentro da Mente
Autor: Kleber Kilhian


Pensar no zero como representando o nada está errado. O fato é que o zero está na base de dois, ou três, importantes avanços da matemática. A história remonta um tempo antes de $1600 a.C.$, no berço da civilização: a Mesopotâmia. Nessa época, os babilônios tinham desenvolvido um sistema posicional para escreverem números, baseado no agrupamento de $60$, de onde heranças desse sistema é a marcação do tempo em minutos e segundos. Era chamada escrita cuneiforme, pois os símbolos usados tinham a forma de cunha, onde os dois símbolos básicos eram...

O Produto Vetorial de Dois Números Complexos


Blog: Fatos Matemáticos
Autor: Paulo Sérgio

Já vimos o produto escalar de dois números complexos. Neste post, definiremos o produto vetorial entre eles e veremos como podemos usar esta ferramenta para calcular a área de paralelogramos e triângulos.

Definição $1$: O produto vetorial de dois números complexos $z_1 = x_1 + iy_1$ e $z_2 = x_2 + iy_2$ e denotado por $z_1\times z_2$ é definido por
$$z_1\times z_2 = Im(\bar{z_1}z_2)$$
Autor: Romirys Cavalcante

Embora muitos achem os videogames apenas um passatempo, eles também são capazes de treinar e estimular o raciocínio humano contribuindo com um melhor desempenho das pessoas que jogam videogames em situações do cotidiano que necessitem  do raciocínio. É isso que revela pesquisas feitas pela Universidade de Denver, nos EUA, que mostra que jogos eletrônicos são capazes de melhorar o desempenho de profissionais no ambiente de trabalho.

terça-feira, 25 de fevereiro de 2014

Tópicos da Matemática da UBM - Nº #2 - Trigonometria

Esta é a segunda edição da série mensal de postagens Tópicos da Matemática da UBM. Agradecemos aos autores dos $5$ blogs participantes que enviaram seus links para mais esta celebração da Matemática. 

Para a edição março, o tema será: Poliedros. Esperamos a sua contribuição!


Um Pouco de Trigonometria 

Blog: Xarlleslb Blog
Autor: Charles Bastos

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos triângulos.

Dizemos então que a Trigonometria é a parte da Matemática cujo objetivo é o cálculo das medidas dos elementos dos triângulos (lados e ângulos).

Inicialmente considerada como uma extensão da Geometria, a Trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de navegação e de agrimensura.

Aliás, foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos da Trigonometria, pois sabe-se que o famoso astrônomo grego Hiparco $(190 a.C. - 125 a.C.)$ foi quem empregou pela primeira vez relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Hiparco, considerado o pai da Astronomia, é também considerado o iniciador da Trigonometria.

A Fórmula de Euler 
Blog: Blog Pós-Graduando em Física
Autor: João Elias

Sem dúvida, uma das expressões mais fascinantes da matemática é a fórmula de Euler, conceituada como uma joia nas palavras do físico nobelista Richard P. Feynman. Trata-se de uma igualdade que conecta uma função exponencial complexa com funções trigonométricas, particularmente, $\sin(z)$ e $\cos(z)$, i.e.,
$$e^{iz} = \cos (z) + i \sin (z)$$
Em $1748$, L. Euler publicou sua prova mediante a aplicação de séries infinitas em ambos os lados da igualdade, exatamente o legado transmitido nos cursos modernos de cálculo diferencial e integral. Antes, contudo, Johann Bernoulli notou duas relações importantes: a primeira delas compreende o método de integração por frações parciais, enquanto que a segunda estabelece uma correspondência interessante entre a função logarítmica e a integral de $(1+\alpha x)^{-1}$, ou seja...

Equações Trigonométricas Elementares 
Blog: Fatos Matemáticos
Autor: Prof. Paulo Sérgio

Em alguns problemas matemáticos elementares surgem equações envolvendo o seno ou o cosseno de um ângulo desconhecido. Para alguns casos, estas equações são equivalentes as equações algébricas de grau maior que $2$, podemos por exemplo citar o problema da passagem do guarda-roupa. Nestes casos, o uso de um método numérico se faz necessário.

Neste post, trataremos das equações trigonométricas redutíveis a um dos $3$ tipos abaixo:
$$I) \quad A\cos(ax) + B\sin(ax) + C = 0$$
$$II) \quad A\sin^2x + B\sin x + C = 0$$
$$III) \quad A\cos^2 x + B\cos x + C = 0$$

Introdução à Trigonometria - Um Pouco de História 
Blog: Vivendo Entre Símbolos
Autor: Romirys Cavalcante

A trigonometria é um ramo da matemática que estuda os elementos de um triângulo, ou seja, os lados e ângulos de um triângulo. A palavra Trigonometria deriva da união de três radicais gregos: tri (três) + gonos (ângulos) + metron (medidas) e é a partir dessa união de radicais gregos que podemos compreender o objetivo principal da trigonometria que é o de estudar medições em triângulos.

A princípio a Trigonometria era utilizada em problemas que envolviam astronomia, agrimensão, cartografia e navegação. Não se sabe ao certo mas acredita-se que a Trigonometria surgiu por volta de $300 a. C.$ mas foi somente por volta de $180$ a $125 a.C.$ que o astrônomo Hiparco de Nicéia ganhou o direito de ser considerado o "pai da trigonometria" por suas contribuições que fez durante a segunda metade do século $II a.C.$, por ter construído a primeira tabela trigonométrica da história e inclusive uma tabela de cordas.

A Matemática da Câmera Fotográfica 
Blog: O Baricentro da Mente
Autor: Kleber Kilhian

As primeiras câmeras fotográficas têm origem no século $XVI$, nas chamadas câmeras escuras. Mas apenas em $1745$ foi acoplada a elas uma lente, melhorando muito a qualidade das imagens formadas. Passaram-se $100$ anos até a produção das primeiras imagens gravadas em papel: as fotografias.

A Câmera Mamute, criada em $1900$ pelo fotógrafo George Raymond Lawrence, a pedido da Chicago & Alton Railway, para fotografar aquele que era considerado o trem mais lindo do mundo.

Ao longo do século $XX$, a tecnologia das câmeras fotográficas foi sendo aperfeiçoada e popularizada, tornando-se um dispositivo óptico bastante comum. Analógicas ou digitais, pequenas ou grandes, profissionais ou acopladas a celulares, as máquinas fotográficas fazem parte do dia a dia das pessoas para registrar momentos de nossas vidas

domingo, 16 de fevereiro de 2014

Tema do Tópicos da Matemática da UBM - Nº #2 - Trigonometria


Para a nossa segunda edição do Tópicos da Matemática da UBM, o tema sugerido é Trigonometria.

Todo conteúdo que se relacione ao tema, que é bem abrangente, poderá ser encaminhado até o dia 23 para o endereço: ubm.matematica@gmail.com, com o assunto: TÓPICOS DA MATEMÁTICA contendo o link da postagem.

Faremos a publicação da segunda edição do Tópicos da Matemática no dia 25.02.2014. Divulguem e participem de mais uma iniciativa da UBM, que procura reunir postagens semelhantes. Quantos mais filiados participando melhor! Aguardamos os envios.
O Tópicos da Matemática é uma ideia que procura oportunizar maior movimento neste ambiente educacional, com mais participantes seja contribuindo com conteúdo, na leitura ou acompanhando os blogs que que acreditam no projeto UBM.

Aguardamos mais contribuições! Sugiram modificações, novas ideias, projetos... Que tal se tivermos a participação direta de nossos afiliados na escolha dos próximos temas? Indiquem temas para o próximo Tópicos da Matemática deixando seu comentário em um de nossos posts.


Equipe da UBM.

sábado, 15 de fevereiro de 2014

Carnaval da Matemática da UBM - Nº #31

Nesta trigésima primeira edição do Carnaval da Matemática da UBM, publicada em $15$ de Fevereiro de $2014$, apresentamos as sinopses dos artigos enviados pelos autores dos $5$ blogs participantes.


 
Blog: Xarlles Blog
Autor: Charles Bastos

Após algumas atualizações e ter criado uma planilha para tratar de Equações do Segundo Grau com Uma Incógnita, resolvi continuar o padrão de posts relacionados à planilhas eletrônicas. Então segue mais este post, agora tratando de Progressão Aritmética (P.A.) e Progressão Geométrica (P.G.) 

P.A. e P.G. são conteúdos comumente estudados no ensino médio e que lidam com sequências numéricas. A P.A. é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com o número fixo, dito razão desta progressão. A P.G. A P.G. é uma sequência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo dito razão desta progressão.


Sobre a Função Delta de Dirac

Blog: Blog Pós Graduando em Física
Autor: João Elias

Quando nos propomos a solucionar uma equação diferencial pelo método da função de Green, logo se faz necessário algum conhecimento elementar sobre a função Delta de Dirac. Embora em sua formulação original, o inglês George Green não tenha empregado o conceito da função delta, atualmente, os cursos introdutórios do método de Green giram em torno da Delta de Dirac. Seguindo o pensamento pragmático, exporemos de forma convincente as propriedades básicas dessa função, sua representação complexa e aplicações.

De fato, uma definição rigorosa da Delta de Dirac passa por um profundo conhecimento da Teoria das Distribuições desenvolvida por Laurent-Moïse Schwartz, célebre matemático francês, séc. XX, denominada ainda de Teoria das Funções Generalizadas, o que não trataremos nesta postagem. Contudo, deve-se pensar uma função generalizada como um objeto a partir do qual a operação de diferenciação torna-se viável, quando a versão clássica de derivada de uma função exclui tal situação. A própria função Delta de Dirac, nesse caso, recebe a designação de distribuição ou função generalizada Delta de Dirac, uma vez que sua formulação é comumente resumida assim...


Um Problema de Língua Portuguesa

Blog: O Baricentro da Mente
Autor: Kleber Kilhian

Nós, matemáticos que somos, apesar de adorarmos os números, temos a obrigação de dominar nossa língua pátria. Pois como, então, poderíamos transmitir nossas ideias se as expressássemos mal? Este breve artigo tem como objetivo, mostrar como o mau uso da Língua Portuguesa, especificamente o uso da vírgula, pode trazer resultados inesperados.

A palavra vírgula, em sua origem latina, é um diminutivo: “virga” = vara + “ula” = sufixo diminutivo. Significa “varinha”, por isso tem sua forma lembrando um pequeno ramo.

A vírgula é utilizada para expressar uma pausa; mas nem toda pausa recebe vírgula, como por exemplo: “Eu fui e voltei”.

Segundo Celso Luft (1921 – 1995), a pontuação em Língua Portuguesa obedece a critérios sintáticos, mas não prosódicos. A vírgula é um recurso da escrita que serve para separar palavras, organizando-as e deixando claras suas relações sintáticas.


Um Convite à Geometria Fractal

Blog: Fatos Matemáticos
Autor: Paulo Sérgio

Uma das áreas recentes da Matemática é a geometria fractal, desbravada por Benoit Mandelbrot $(1924-2010)$ que cunhou termo "fractal" em $1975$. Em termos gerais, trata-se de um método matemático para lidar com as aparências irregularidades do mundo natural, revelando sua estrutura oculta.

O tema é mais bem conhecido por seus gráficos que na maioria das vezes são gerados por funções simples, tais como $z^2 + C$, $e^z$, $\sin z$, etc. As formas tradicionais da geometria euclidiana são triângulo, quadrados, circunferências, cones, esferas e afins. Ela são simples, e não têm nenhuma estrutura detalhada em particular. Se você ampliar uma circunferência, por exemplo, qualquer porção se parecerá mais e mais com uma linha reta sem grandes características distintivas. Essas formas desempenharam um papel proeminente na ciência - por exemplo, a Terra tem a forma aproximada de uma esfera, e para muitos propósitos, esse nível de detalhamento é suficiente.
Autor: Romirys Cavalcante

 A visão é um dos cinco sentidos que contribui para a assimilação e integração das informações captadas pelos demais sentidos. Temos a capacidade de ouvir e sentir as coisas, mas é somente com a visão que podemos entender aquilo que ouvimos e que tocamos.

Quando não dispomos da visão é preciso que encontremos um meio de compensar essa falta para que isso não seja tomado como uma barreira, principalmente quando se fala em educação formal, para o acesso a participação do indivíduo nos processos de ensino e aprendizagem e posteriormente o sucesso acadêmico.

A linguagem desempenha um papel importante tanto no desenvolvimento como na educação de alunos cegos. A linguagem oral deve, por um lado, ser descritiva e por outro lado cuidada, procurando atender o rigor da escrita matemática. A linguagem escrita  concretamente a escrita braille para a matemática é um elemento fundamental da aprendizagem e desenvolvimento da autonomia nos alunos cegos. Neste sentido é de estrema importância que o professor de matemática tenha conhecimento neste domínio, para poder acompanhar o trabalho desenvolvido pelo aluno cego, semelhante ao atendimento ao aluno que tem visão.

sábado, 1 de fevereiro de 2014

Do que é feito o Universo? De matemática, dizem cientistas...


Os cientistas há tempos utilizam a matemática para descrever as propriedades físicas do universo. Mas e se o próprio universo for a matemática? Isso é o que o cosmólogo Max Tegmark sugere.

Na visão de Tegmark, tudo no universo – incluindo os humanos – é parte de uma estrutura matemática. Toda a matéria é composta de partículas, que têm propriedades como carga e rotação, mas estas propriedades são puramente matemáticas, diz ele. E o próprio espaço tem propriedades, tais como dimensões, mas ainda assim não deixa de ser uma estrutura matemática.

“Se você aceita a ideia de que tudo no universo tem propriedades matemáticas, então a ideia deixa de ser absurda”, disse Tegmark em uma palestra no dia 15 de janeiro.

“Se a minha ideia estiver errada, a física toda é condenada”, disse Tegmar. Mas se o universo realmente for feito de matemática, ele acrescentou: “Não há nada que não podemos, em princípio, não entender.”

A natureza cheia de números

A ideia resulta da observação de que a natureza é cheia de padrões, tais como a sequência de Fibonacci – uma série de números em que cada um representa a soma dos dois números anteriores. Muitas formas naturais, desde alcachofras até galáxias, seguem esse padrão.

O mundo não vivo também se comporta de uma forma matemática. Se você jogar uma bola de beisebol no ar, ela segue uma trajetória aproximadamente parabólica. Planetas e outros corpos astrofísicos seguem órbitas elípticas.

“Há uma elegante simplicidade e beleza da natureza revelada por padrões e formas matemáticas que nossas mentes foram capazes de descobrir”, disse Tegmark, que gosta tanto de matemática que moldou imagens de equações famosas em sua sala de estar.

Uma conseqüência da natureza matemática do universo é que os cientistas poderiam, em teoria, prever cada observação ou medição física. Tegmark apontou que a matemática previu a existência do planeta Netuno, das ondas de rádio e do bóson de Higgs, que é pensado para explicar como outras partículas ganham sua massa.

Algumas pessoas argumentam que a matemática é apenas uma ferramenta inventada pelos cientistas para explicar o mundo natural. Mas Tegmark afirma que a estrutura matemática encontrada no mundo natural mostra que a matemática existe na realidade, e não apenas na mente humana.

E por falar em mente humana, poderíamos usar a matemática para explicar o cérebro?

Matemática da consciência

Alguns descreveram o cérebro humano como a estrutura mais complexa do universo. Na verdade, a mente humana tornou possível todos os grandes saltos na compreensão do nosso mundo.

Algum dia, Tegmark disse, os cientistas provavelmente serão capaz de descrever até mesmo a consciência usando a matemática. (Carl Sagan já dizia: “o cérebro é um lugar muito grande em um espaço muito pequeno”).

Ele ressaltou que muitos grandes avanços na física envolveram unificar duas coisas que se pensavam estar separadas: energia e matéria, espaço e tempo, eletricidade e magnetismo. Ele disse que suspeita que a mente acabará por ser unificada com o corpo, que é uma coleção de partículas em movimento.

Mas se o cérebro for apenas matemática, isso significa que o livre-arbítrio não existe, porque os movimentos das partículas podem ser calculados através de equações? Não necessariamente, disse ele.

Uma maneira de pensar sobre isso é que, se um computador tentar simular o que uma pessoa vai fazer, o cálculo levaria pelo menos a mesma quantidade de tempo que executar a ação. Por isso, algumas pessoas sugeriram que o que define o livre arbítrio é a incapacidade de prever o que vai acontecer antes de o evento de fato acontecer.

Mas isso não significa que os seres humanos sejam impotentes. Tegmark concluiu seu discurso com uma chamada à ação: “Os seres humanos têm o poder não só para entender nosso mundo, mas para moldar e melhora-lo.”

sábado, 25 de janeiro de 2014

Tópicos da Matemática da UBM - Nº #1 - Teorema de Pitágoras

Esta é a primeira edição da série mensal de postagens Tópicos da Matemática da UBM. Agradecemos aos autores dos $7$ blogs participantes que enviaram seus links para mais esta celebração da Matemática. Esperamos que seja a primeira de muitas!

Triângulo Retângulo 
Blog: Xarlleslb Blog
Autor: Charles Bastos

O filósofo e matemático grego Pitágoras, por volta do século $VI a.C.$, fundou uma escola mística secreta, chamada Escola Pitagórica. Nela, a ciência era considerada um bem comum e todos pesquisavam e discutiam coletivamente. Por isso, as contribuições científicas conquistadas não possuíam autoria individual.

Para a formação desse famoso teorema, é possível que Pitágoras e seus discípulos tenham se baseado nos conhecimentos geométricos dos egípcios e em mosaicos que apareciam com frequência em paredes das construções do Egito antigo.

Em verdade, pesquisas indicam muito provavelmente, já havia conhecimento de que em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos. o Plimpton $322$, tablete de argila encontrado na Babilônia, contém sequências de números correspondentes às "ternas pitagóricas", muito antes de Cristo. 

Teorema de Pitágoras Para Além do Plano 
Blog: Blog Manthano
Autor: Pedro Roberto de Lima

Supomos o leitor familiarizado com as noções de espaço vetorial real e de produto interno.

O objetivo desta postagem é apresentar uma versão do Teorema de Pitágoras do ponto de vista da álgebra linear, de acordo com a qual, em todo espaço vetorial real com produto interno, vale uma fórmula análoga àquela bem conhecida da geometria $(a^2=b^2+c^2)$.

Por certo, nesta generalização as interpretações geométricas desaparecem; nela se estendem as noções de perpendicularidade e comprimento falando-se, então, em ortogonalidade e norma - conceitos estes cujas definições serão necessárias e que, portanto, relembramos a seguir.

Qual a "Distância" da Linha do Horizonte? 
Blog: Giga Matemática
Autor: Diego de Sousa

Quando eu era criança fui à praia para um dia de lazer, sempre fui muito curioso e sempre queria ter uma explicação para todas as coisas (talvez isso me motivou escolher a Matemática), dessa vez me deparei com a Linha do Horizonte e me perguntei:

- Qual a distância da beira da praia até a linha do horizonte?

Fiquei bastante intrigado, até perguntei pra algumas pessoas, mas elas não souberam me responder naquele momento, resolvi então deixar para depois, pensei que no futuro talvez soubesse a resposta para essa dúvida. Os anos passaram e no último sábado estava em minha casa navegando na Internet e me deparei com a imagem do início dessa postagem e novamente me veio a pergunta não respondida da minha infância, mas dessa vez sabia que eu mesmo podia chegar ao resultado, e é essa experiência que compartilho hoje com os leitores do Giga Matemática.

E Por Que Não? 
Blog: Matemágicas e Números
Autor: Francisco Valdir

Em uma conversa com o dono do blog Experiencias na matemática, o Renato Brodzinski (excelente blog que eu recomendo), ele me falou que achava intrigante e genial, o uso do triângulo retângulo com as medidas de $3$ e $4$ unidades nos catetos e $5$ unidades na hipotenusa. Com esse triângulo, os egípcios eram capazes de demarcarem terrenos com cantos vivos, contendo ângulos retos com precisão. O Renato se perguntava, como eles conseguiram obter esse triângulo retângulo $3$, $4$ e $5$ unidades?

Demonstração do Teorema de Pitágoras 
Blog: Vivendo Entre Símbolos
Autor: Romirys Cavalcante

Olá amigo leitor... Hoje irei mostrar para você como demonstrar o teorema de Pitágoras da maneira mais fácil que eu encontrei. É realmente muito fácil, espero que goste dessa matéria. Vamos lá então?!

O teorema de Pitágoras pode ser enunciado da seguinte maneira:

"Em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos desse triângulo".

Ou seja, em um triângulo $ABC$ com hipotenusa no lado $a$ e catetos nos lados $b$ e $c$, teremos que:

O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides 
Blog: O Baricentro da Mente
Autor: Kleber Kilhian

A Proposição $47$ do Livro $I$ dos Elementos de Euclides trata da demonstração do Teorema da Hipotenusa, o conhecido como Teorema de Pitágoras:

Proposição $I-47$: Em um triângulo retângulo, o quadrado sobre o lado oposto ao ângulo reto é igual à soma dos quadrados sobre os lados que forma o ângulo reto.

Conhecemos este teorema como Teorema de Pitágoras. Vamos ver neste artigo como Euclides conduziu sua demonstração.

Provas do Teorema de Pitágoras (Parte 1) 
Blog: Fatos Matemáticos
Autor: Prof. Paulo Sérgio

Apresento uma coleção de demonstrações do teorema mais famoso da Matemática. Já apresentei um quebra-cabeça cujas as peças montadas nos catetos também podem ser montadas na hipotenusa.

As demonstrações serão dos mais variados tipos, das mais simples às mais complexas, mas para instigar a curiosidade dos leitores será publicada apenas uma demonstração em cada parte. A primeira prova é a mais curta e é apresentada em vários livros textos. Para entendê-la considere a figura acima...

domingo, 19 de janeiro de 2014

Tópicos da Matemática na UBM - Nº #0 - Apresentação

Tópicos da Matemática da UBM é mais um espaço que estamos criando a fim de reunir postagens semelhantes.

A ideia é a cada mês sugerirmos um tema e os autores (filiados) indicarem uma postagem de seus blogs que tenha, de alguma forma, afinidade ao tema sugerido. Assim, teremos uma concentração de postagens sobre um determinado assunto.

As publicações serão feitas todo dia 25 e os interessados deverão enviar um e-mail até o dia 23 para o endereço: ubm.matematica@gmail.com, com assunto: TÓPICOS DA MATEMÁTICA contendo o link da postagem.

Nesta primeira edição, o tema sugerido é o Teorema de Pitágoras. Pode ser uma demonstração, uma aplicação, uma curiosidade, ou qualquer postagem que tenha relação a este teorema tão famoso.

Esperamos a participação de todos os blogs filiados. Participem!

Equipe da UBM

quarta-feira, 15 de janeiro de 2014

Carnaval da Matemática da UBM - Nº #30

Nesta trigésima edição do Carnaval da Matemática da UBM, publicada em $15$ de Janeiro de $2014$, apresentamos as sinopses dos artigos enviados pelos autores dos $8$ blogs participantes.


 
Blog: Vivendo Entre Símbolos
Autor: Romirys Cavalcante

O senso numérico é a capacidade de reconhecer e comparar pequenas quantidades em um determinado lugar no espaço. Ela não é privilégio único e exclusivo do ser humano visto que esta capacidade também é encontrada em muitos outros animais. Nesses animais, a capacidade de distinguir e comparar pequenas quantidades presentes no meio ambiente é fundamental, pois ajuda-os a se alimentar melhor, fugir de seus predadores e controlar o número de filhotes de sua ninhada, fatores importantes para a perpetuação de suas espécies.


Desafio: A Geometria

Blog: Xarlleslb Blog
Autor: Charlles Bastos

O desafio a seguir é bem simples e foi retirado do livro "O Livro dos Desafios" de Charles Barry Townsend. Trata-se de um exemplo simples de geometria em que a base para resolução é a análise e a comparação.

Em geometria é muito importante compreender conceitos básicos como os que aparecem neste desafio: raio, diagonal, ângulo, circunferência, segmento, ponto, linha, paralelo, etc.
 

Autor: Aloísio Teixeira

A equação do círculo $x^2+y^2=r^2$, de centro na origem e raio $r$, gera duas funções cujas representações no plano cartesiano são as seguintes:  para a função $y=+\sqrt{r^2-x^2}$ temos o semicírculo mostrado no diagrama na parte superior do eixo $Ox$. Já para a função $y'=-\sqrt{r^2-x^2}$ temos o semicírculo na parte inferior do mesmo eixo.



Stephen Wolfram: O Universo Computacional

Blog: Blog Pós Graduando em Física
Autor: João Elias

Stephen Wolfram é criador dos softwares Mathematica e Wolfram|Alpha, autor de A New Kind of Science e fundador da Wolfram Research. Nascido em Londres, $1959$, Wolfram estudou no Eton College, na Oxford University e no Caltech. Logo aos $15$ anos, publicou seu primeiro artigo científico. Aos $20$ anos, recebeu o seu PhD em física teórica pelo Caltech, atuando principalmente em física de altas energias, teoria quântica de campos e cosmologia. A partir de $1973$, Stephen teve seu primeiro contato com computadores em atividade de pesquisa científica, o que culminou no desenvolvimento do SMP, ou seja, o primeiro sistema moderno de computação algébrica, sendo este considerado o antecessor do Mathematica. Em $1981$, Wolfram fora agraciado com o prêmio MacArthur Fellowship por suas contribuições à física de partículas subatômicas e à computação simbólica.


A Fórmula de Pick e a Aproximação de Pi

Blog: O Baricentro da Mente
Autor: Kleber Kilhian

Georg Alexander Pick $(1859–1942)$ desenvolveu um teorema em $1899$ que permite calcular a área de um polígono simples sobreposto a uma malha quadriculada, relacionando somente os nós localizados no perímetro deste polígono e o número de nós internos a ele.

Definição $1$: Um nó é definido pela intersecção de duas retas da malha. 

Definição $2$: Um polígono simples é aquele que não possui buracos no seu interior, nem intersecções com suas arestas. 


Cálculo de Limites Exponenciais

Blog: Fatos Matemáticos
Autor: Paulo Sérgio

Para estudar a derivada das funções exponenciais e logarítmicas, faz-se necessário aplicar dois limites fundamentais que apresentaremos neste post.

Proposição $1$: Se $x \in \mathbb{R}$, então

$\lim_{x \to \infty}\biggl(1 + \frac{1}{x}\biggr)^x = e \qquad (1)$

onde $e$ é a constante de Euler ou Napier.

Demonstração: Vale ressaltar que o símbolo $\infty$ significa $+\infty$ ou $-\infty$. Mostraremos o caso em que $x \to +\infty$, o outro caso é análogo. Dado $x \succ 0$, existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \leq x \prec n + 1$. Assim...


A Câmara Escura

Blog: Infravermelho
Autor: Jairo Grossi

As pessoas que tiveram a oportunidade de estudar Física no Ensino Médio devem ter visto pelo menos algum tópico de Óptica Geométrica. Um dos princípios básicos da Óptica, no âmbito da Física Clássica, diz que a luz se propaga em linha reta, e uma boa aplicação deste princípio se dá no entendimento de como funciona um instrumento muito simples conhecido como Câmara Escura de Orifício.

Este instrumento pode ser facilmente construído usando-se uma caixa com um furinho em uma das faces, obtendo-se as imagens dos objetos projetadas na face oposta. As  imagens podem ser observadas diretamente, como no exemplo do vídeo colocado no final deste post, tirado de um divertido programa educativo que passava a alguns anos atrás na TV Cultura, chamado O Mundo de Beakman. Outra opção é colocar um papel fotográfico ou filme no fundo da câmara, e revelar as fotos a seguir.


Malba Tahan: O Homem que Descomplicava

Blog: Matemágicas e Números
Autor: Francisco Valdir

Numa noite dessas, em um oásis de um deserto de uma região de um país árabe, sob um céu emoldurado de estrelas cintilantes, uma caravana ali se detém para o pernoite. Sob à luz de uma fogueira, temos em sua volta um grupo de tuaregues, os homens do deserto, que à exceção de um deles, estão sentados e atentos à escutar o companheiro que permanece de pé, o narrador de lendas, e que começa a falar:

Alá é o Deus todo poderoso e Maomé é o seu profeta! Meus irmãos... e para mostrar o quanto o poder de Alá é grande... vou lhes contar o que aconteceu numa terra, longe daqui, chamada Brasil! Sim... o Brasil de Pelé, Garrincha, César lattes, Maria Esther Bueno, Airton Sena, Lula... e o venerado herói lembrado a cada dia seis de maio... o Malba Tahan!


domingo, 15 de dezembro de 2013

Amplituhedron - Uma Joia no Coração da Física Quântica

Os físicos desenvolveram um objeto geométrico semelhante a uma joia que simplifica os cálculos de interações de partículas e desafia a noção de que o espaço e o tempo são componentes fundamentais da realidade.


“Isso é completamente novo e muito muito mais simples do que qualquer coisa já feita antes”, disse Andrew Hodges, físico matemático da Universidade de Oxford, na Inglaterra, que vem acompanhando o trabalho.

A revelação de que as interações de partículas, os eventos mais básicos da natureza, podem ser consequências da geometria avança significativamente décadas de esforço para reformular a teoria quântica de campos, o conjunto de leis que descrevem as partículas elementares e suas interações. As interações que foram previamente calculadas com milhares de fórmulas matemáticas podem agora ser descritas pelo cálculo do volume do novo objeto correspondente, chamado “amplituhedron”.

“O grau de eficiência é incompreensível”, disse Jacob Bourjaily, físico teórico da Universidade de Harvard e um dos pesquisadores que desenvolveram a nova ideia. “Você pode fazer facilmente, em papel, cálculos que eram inviáveis, mesmo com um computador.”

A nova versão geométrica da teoria quântica de campos poderia também facilitar a busca de uma teoria quântica da gravidade que facilmente conectaria o mundo macroscópico (regido pelas leis da relatividade de Einstein) com o mundo microscópico (descrito pelas bizarras leis da mecânica quântica). As tentativas, até agora, de incorporar a gravidade com as leis da física na escala quântica rendem resultados absurdos e um monte de paradoxos incompreensíveis.

Além de tornar os cálculos mais fáceis, é possível que a natureza do amplituhedron forneça novas ideias de como as leis fundamentais do universo funcionam realmente, ajudando inclusive na compreensão da origem do universo – o Big Bang. [Quanta Magazine]

Referências: 
 

quarta-feira, 27 de novembro de 2013

YouTube EDU - Novo canal de Educação

A empresa Google anunciou nesta quinta-feira (21.11.2013), em parceria com a Fundação Lemann, o lançamento da plataforma sobre Educação YouTube EDU. 


Essa plataforma contém vídeos de professores brasileiros que foram analisados por especialistas e selecionados para fazerem parte deste projeto. Até agora já foram selecionados 26 canais totalizando cerca de 8 mil vídeos, inicialmente voltados ao ensino médio nas disciplinas de: Matemática, Biologia, Língua Portuguesa, Física e Química. 

A iniciativa, criada em parceira com a Fundação Lemann, é a primeira fora dos Estados Unidos a reunir canais criados por educadores sob o mesmo endereço, o www.youtube.com/edu.

Segundo Denis Mizne, diretor executivo da Fundação Lemann:
" Cada um aprende melhor de um jeito e um grande diferencial da plataforma é justamente possibilitar que as pessoas escolham o professor que melhor se adapta ao seu perfil. Por isso, nesta avaliação, não julgamos o estilo das aulas, apenas a exatidão do conteúdo. "

“O YouTube é a plataforma ideal para um projeto como esse, com um potencial praticamente infinito para agregar cada vez mais conteúdo de qualidade. Já temos planos para incluir canais de ensino fundamental e ensino superior. Além disso, a plataforma é aberta e qualquer educador pode submeter seu canal para avaliação”, explica Flavia Simon, diretora de Marketing no Google e responsável pela implantação do YouTube EDU no Brasil. 

Equipe da fundação Lemann e do Google ao lado
dos professores que já estão no YouTube EDU

Um dos focos desse projeto é estimular cada vez mais professores brasileiros a criarem conteúdo educacional e de qualidade afim de tornar o aprendizado mais acessível a alunos de todas as idades, lugares e classes sociais. 

Referências:

terça-feira, 15 de outubro de 2013

Carnaval da Matemática da UBM - Nº #29

Nesta vigésima nona edição do Carnaval da Matemática da UBM, publicada em $15$ de Outubro de $2013$, apresentamos as sinopses dos artigos enviados pelos autores dos $3$ blogs participantes.

 
Blog: O Baricentro da Mente
Autor: Kleber Kilhian

Uma pessoa com audição normal é capaz de ouvir uma grande faixa de sons de intensidade bem diferentes.

O som pode ser classificado como fraco ou forte quanto a sua intensidade, que é representado por $I$.

No $S.I.$, a intensidade $I$ é expressa em $W/m^2$ (watts por metro quadrado).

Existe um valor mínimo de intensidade de som, abaixo da qual é impossível ouvir algo. A essa intensidade damos o nome de limiar de audibilidade, que vale em média, $10^{–12}W/m^2$. Com base nos valores de intensidade de som, podemos definir o nível de intensidade $(\beta)$ medindo em decibels $(dB)$:

Euler e o Quadrilátero Convexo

Blog: Fatos Matemáticos
Autor: Prof. Paulo Sérgio

Para o grande matemático Leonhard Euler não houve área da Matemática em que ele não usou o seu intelecto e para mostrar o seu poder de raciocínio, vejamos um teorema de Geometria Plana que Euler demonstrou em seu livro Introductio in analysin infinitorum de $1748$. Para saber mais sobre a vida e a obra (click aqui). 

Teorema: (Euler) Dado qualquer quadrilátero convexo $ABCD$ (figura acima) com diagonais $AC$ e $BD$. Se um paralelogramo é completado sobre os lados $AB$ e $BC$ formando o paralelogramo $ABCE$ e se os dois pontos $D$ e $E$ são ligados formando o segmento $DE$, então...

http://1.bp.blogspot.com/-MuDH690UYKY/UlqJP0OJE3I/AAAAAAAAEYk/QJsOU5_r7kc/s1600/newton.jpgBlog: Infravermelho
Autor: Jairo Grossi

Um dos maiores equívocos que algumas pessoas ainda cometem ao analisarem imagens, vídeos ou filmes com astronautas no espaço, em órbita da Terra, é pensar que a flutuação deles se dá pela ausência de gravidade.

Existem atualmente empresas de aviação nos EUA, Rússia, e agora a partir de $2013$, também na Europa, que já realizam voos comerciais, antes restritos aos treinamentos de astronautas, simulando esta condição encontrada no espaço. O físico Stephen Hawking foi um dos que experimentou tal sensação em um destes voos, em $2007$, e pelas imagens deve ter se divertido muito (foto).

domingo, 15 de setembro de 2013

Carnaval da Matemática da UBM - Nº #28

Nesta vigésima oitava edição do Carnaval da Matemática da UBM, publicada em $15$ de Setembro de $2013$, apresentamos as sinopses dos artigos enviados pelos autores dos $9$ blogs participantes.

Blog: Xarlleslb blog
Autor: Charles L. de Bastos
 
Me deparei com a imagem abaixo, que brinca com algumas operações matemáticas, em que os resultados são cada uma das $12$ horas do relógio, em um post no Facebook.
 
Havia um comentário dizendo sobre um erro para uma das horas. Foi então que resolvi verificar. Cálculos simples e realmente, apesar de muitos contra e até de explicações similares e para alguns convincentes, há um erro de escrita.

Resolvendo equações quadráticas pelo método geométrico de Descartes

Autor: Kleber Kilhian
 
Descartes, no livro $I$de sua obra La Géométrie, se preocupou com problemas geométricos onde a equação final só pode conter uma quantidade desconhecida. Ele observou que era o grau dessa equação algébrica resultante que determinava os instrumentos geométricos pelo qual a construção pedida podia ser realizada.
 
Descartes desenvolveu um método para resolver equações quadráticas, não no sentido algébrico como os antigos babilônios faziam, mas no sentido geométrico.


Fórmula recursiva para polinômios
Blog: Elementos
Autor: Aloísio Teixeira
 
Este artigo é mais um capítulo do desenvolvimento do cálculo $N$ (natural), ou cálculo discreto cuja teoria e algumas aplicações podem ser vistas nos posts 002, 003, 016, 020, 030 e 037.
 
Veremos, agora, um breve resumo sobre este conceito. Cálculo $N$ é toda teoria e aplicação que envolve a derivada $N$ ou a integral $N$. Neste post, nos interessa a primeira operação aplicada em polinômios.

Autor: Francisco Valdir 

As dicas do João!!!!! Das atividades da blogsfera, a que mais salta à vista, pela usubilidade, sem dúvidas que são, as postagens em blogs e/ou sites! Eu tenho o meu já faz 2 anos e “vai muito bem”, obrigado!! Eu não possuia computador, nem siquer navegava pelas Lan Houses, mas, alimentava o desejo de posuir um bom equipamento e construir um site onde eu queria mergulhar nesse universo de interatividades as mais diversas! E foi o que aconteceu, tempos mais tarde, comprei o micro, me cerquei de informações de como fazer um blog (não sabia o que era), pagar serviço de internet de banda larga, fazer postagem e por aí vai!!!

Autor: Romirys Cavalcante 

O Facebook é atualmente a rede social mais utilizada no mundo. É difícil uma pessoa não possuir uma conta no Facebook hoje em dia. Navegando pela internet me deparei com uma pergunta, referente a essa rede social, de uma pessoa que queria saber se tinha como inserir equações matemáticas no Facebook e se também dava para inserir na atualização de status ou no bate-papo. Encontrei pouquíssimas respostas sobre a pergunta e as que tinham eram muito vagas, então resolvi pesquisar mais a fundo sobre esse assunto e decidi ensinar como inserir equações matemáticas no Facebook tanto na atualização de status como no bate-papo.

Existem grupos no Facebook que tratam de assuntos voltados a matemática e que muitas vezes necessitam expressar algumas equações ou fórmulas em atualizações de status ou nos bate-papos com seus membros. Aprender a inserir equações matemáticas no Facebook ajudaria bastante grupos como esses nessas horas.

 

Autor: Professor Paulo Sérgio 

Uma aplicação interessante da desigualdade aritmética-geométrica é a determinação do ângulo ótimo de visualização de uma estátua ou de um outdoor. A forma que irei resolver este problema é através da Álgebra e da Trigonometria, mas para os alunos que já estudaram Cálculo Diferencial encontrarás de modo simples o ângulo ótimo, uma vez que esse problema traduz-se matematicamente em maximizar uma função cuja variável independente é o ângulo de visualização.

Autor: Jairo Grossi 

Nos dias de hoje, todo estudante entende o significado do zero. Então porque será que na história da humanidade ele custou tanto a ser aceito?
Há evidências de que os primeiros sistemas de contagem tiveram início há cerca de 3000 a.C. no Egito, Mesopotâmia e Pérsia.(veja no mapa). No entanto, o surgimento do número zero se deu somente em torno de 300 a.C. Até então, não havia a necessidade de se ter um número que expressasse a falta de alguma coisa.

Autor: João Elias F. S. Rodrigues 


"Leiam Euler, leiam Euler, é o mestre de todos nós" 

Laplace.
Sem dúvida, uma das expressões mais fascinantes da matemática é a fórmula de Euler, conceituada como "uma joia" nas palavras do físico nobelista Richard Feynman. Trata-se de uma igualdade que conecta, sobretudo, uma função exponencial complexa com funções trigonométricas, particularmente, sin(z) e cos(z), i.e...


Blog: Nerdyard
Autor: Reginaldo

A paridade entre os preços de opções de compra e venda do tipo europeu. Aqui, como em todas as outras postagens anteriores, não consideramos ativos que pagam dividendos ou juros sobre o capital próprio. Consideremos duas carteiras: uma composta de apenas uma opção de venda e outra em que há a opção de compra, uma ação vendida a descoberto e

\displaystyle  X\exp\left[-r\left(T-t\right)\right]

em títulos livres de risco. O tempo presente é { t,} o tempo de exercício é { T,} a taxa de juros livre de risco é { r} e o preço de exercício é { X.} Note que, para fazer sentido, t\leqslant T. Aqui supomos que as opções de venda e de compra têm o mesmo preço { X} de exercício. No dia de vencimento (ou de exercício) de opções, a carteira composta apenas de uma opção de venda valerá

Blogs/Sites Filiados